Wat is Wilks’ Lambda of de Lambdaverdeling van Wilks?

De Lambdaverdeling van Wilks, (Wilks’ Lambdaverdeling), is een kansverdeling of statistische verdeling die wordt gebruikt in multivariate statistische analyses zoals de multivariate variantieanalyse (MANOVA) en multivariate regressieanalyse.

Deze verdeling is genoemd naar de Amerikaanse statisticus Samuel S. Wilks. De waarde van Wilks’ Lambda wordt genoteerd als Griekse hoofdletter lambda: Λ maar ook als Griekse kleine letter lambda: λ.

Wanneer gebruik je Wilks’ Lambda ?

De Wilks’ Lambda wordt als statistische teststatistiek gebruikt om de significantie van de totale effecten van onafhankelijke variabelen in een multivariate model te evalueren. Het wordt vaak gebruikt om te beoordelen of er significante verschillen bestaan tussen groepen in multivariate gegevens, waarbij de afhankelijke variabelen samenhangen. Onderzoekers gebruiken Wilks’ Lambda ook als een schattingsparameter. Lambda wordt dan gebruikt in een MANOVA-model om de relatie tussen de onafhankelijke variabelen en de gecombineerde set van afhankelijke variabelen te evalueren.

Zo is Wilks’ Lambdaverdeling nuttig voor het analyseren van multivariate gegevens en het beoordelen van de impact van onafhankelijke variabelen in dergelijke analyses. Dat geldt voor het toetsen van een significant verband en ook voor de schatting van een parameter.

Deze verdeling wordt vaak toegepast in natuurwetenschappen zoals biologie en in sociale wetenschappen zoals psychologie maar ook andere disciplines waar multivariate gegevensanalyse nodig is.

De Wilks’ Lambdaverdeling is een kansverdeling. De waarden die Wilks’ Lambda kan aannemen, variëren van 0 tot 1.

Λ = 0: Als Wilks' Lambda gelijk is aan 0, geeft dit aan dat er geen variabiliteit is tussen de groepen of categorieën op basis van de onafhankelijke variabelen. Met andere woorden, er zijn geen significante effecten, en alle groepen of categorieën zijn gelijk in termen van de afhankelijke variabelen.
0 < Λ < 1: In de praktijk zal Wilks' Lambda bij multivariate analyses typisch een waarde tussen 0 en 1 aannemen. Een waarde dichter bij 0 geeft aan dat er significante effecten zijn, en de groepen of categorieën verschillen op de afhankelijke variabelen.
Λ = 1: Als Wilks' Lambda gelijk is aan 1, geeft dit aan dat er geen verschillen zijn tussen de groepen of categorieën op basis van de onafhankelijke variabelen. Met andere woorden, er zijn geen significante effecten, en alle groepen of categorieën zijn gelijk in termen van de afhankelijke variabelen.

Om de significantie van Wilks’ Lambda te bepalen, wordt meestal de bijbehorende F-verdeling gebruikt. Dit wordt gedaan door de verhouding van de waargenomen Wilks’ Lambda-waarde tot de verwachte waarde te berekenen en deze te vergelijken met de kritieke F-waarde op een bepaald significantieniveau. De waarde van Wilks’ lambda wordt ook gebruikt als een maat voor de betrouwbaarheid van het onderscheidend vermogen tussen onderzoeksgroepen. Hoe kleiner de waarde van Wilks’ lambda, des te sterker is het onderscheid tussen groepen. Een waarde dicht bij nul suggereert dat er aanzienlijk onderscheid is en dat de groepen significant van elkaar verschillen.

Het gebruik van een F-test om de significantie van Wilks' Lambda te bepalen

Om de significantie van Wilks’ Lambda te bepalen, wordt vaak een F-test gebruikt in multivariate statistische analyses, zoals multivariate variantieanalyse (MANOVA). De F-test vergelijkt de verhouding van de waargenomen Wilks’ Lambda-waarde met de verwachte waarde onder de nulhypothese van geen effect. Hier is een vereenvoudigd rekenvoorbeeld van hoe je de significantie van Wilks’ Lambda kunt bepalen:

Stap 1: Formuleer de nulhypothese en de alternatieve hypothese

Nulhypothese (H0): Er zijn geen significante verschillen tussen de groepen op basis van de onafhankelijke variabelen.
Alternatieve hypothese (H1): Er zijn significante verschillen tussen de groepen op basis van de onafhankelijke variabelen.

Stap 2: Voer een MANOVA-analyse uit om Wilks' Lambda te berekenen

Laten we aannemen dat je de resultaten van de MANOVA-analyse hebt en dat de waargenomen Wilks’ Lambda-waarde (Λ) bijvoorbeeld 0,65 is.

Stap 3: Bepaal de vrijheidsgraden voor de F-test

De teller (numerator) vrijheidsgraden (df1) zijn afhankelijk van het aantal groepen en de grootte van de steekproef.
De noemer (denominator) vrijheidsgraden (df2) zijn gebaseerd op het totale aantal waarnemingen en het aantal groepen.

Stap 4: Bereken de verwachte waarde van Wilks' Lambda onder de nulhypothese

Dit is het kritieke punt van de F-verdeling.

Stap 5: Bereken de F-waarde

Voor de F-waarde gebruik je de formule:

F= Λ (1−Λ)×df1df

Hier is Λ de waargenomen Wilks’ Lambda-waarde en 1df1 en 2df2 zijn de vrijheidsgraden zoals bepaald in stap 3.

Stap 6: Bepaal het kritieke F-waardepunt bij het gewenste significantieniveau

De waarde is bijvoorbeeld 0,05 of 0,01. Je kunt hiervoor een F-tabel of een statistisch softwareprogramma gebruiken.

Stap 7: Vergelijk de berekende F-waarde uit stap 5 met het kritieke F-waardepunt uit stap 6.

Als de berekende F-waarde groter is dan het kritieke F-waardepunt, dan wijst dit op de verwerping van de nulhypothese, wat betekent dat er significante verschillen zijn tussen de groepen op basis van de onafhankelijke variabelen.

Dit is een algemene schets van hoe de significantie van Wilks’ Lambda wordt bepaald met behulp van een F-test in de context van een MANOVA-analyse. De exacte waarden en vrijheidsgraden zijn afhankelijk van de gegevens en de specifieke analyse die wordt uitgevoerd.

Praktijkvoorbeeld van het gebruik van de Lambdaverdeling van Wilks als significatie-toets en als schattingswaarde. Je leest hieronder een voorbeeld van het bepalen van de significantie van Wilks' Lambda in de psychologie.

Stel dat je als onderzoeker geïnteresseerd bent in het vergelijken van de effecten van verschillende behandelingsmethoden (A, B, en C) op drie afhankelijke variabelen (X, Y, en Z) om de mentale gezondheid van patiënten te verbeteren. Je wilt weten of er significante verschillen zijn tussen de behandelingsgroepen. Je pakt het als volgt aan:

1) Gegevensverzameling: Je verzamelt gegevens van 60 patiënten, verdeelt die over de drie behandelingsgroepen (elke groep heeft 20 deelnemers). Elke deelnemer heeft scores op de drie afhankelijke variabelen (X, Y, en Z).
2) MANOVA-analyse: Je voert een multivariate variantieanalyse (MANOVA) uit om te zien of er significante verschillen zijn tussen de behandelingsgroepen op de gecombineerde set van afhankelijke variabelen (X, Y, en Z).
3) Berekening van Wilks' Lambda: Na het uitvoeren van de MANOVA krijg je de waarde van Wilks' Lambda, bijvoorbeeld Λ = 0,75.
4) Bepaling van de significantie: Om de significantie van Wilks' Lambda te bepalen, moet je deze waarde vergelijken met de kritieke F-waarde. Dit vereist specifieke tabelwaarden voor de gekozen significantie (bijvoorbeeld 0,05). Deze tabelwaarden worden vanzelf verkregen als je een statistisch softwarepakket gebruikt. Je kan ook een goed statistiek-handboek gebruiken: deze hebben vaak uitgebreide tabellenbijlagen.
5) Bereken de F-waarde: De F-waarde wordt berekend volgens de formule F= (1 - Λ) / Λ * [(n - p - 1) / p] Daarbij is n het totale aantal deelnemers. Dat is 60 in dit geval. Dan is p het aantal afhankelijke variabelen (3 in dit geval).
6) Interpretatie: Als de berekende F-waarde groter is dan de kritieke F-waarde voor de gewenste significantie (bijvoorbeeld F (3, 56) = 3,50 voor p = 3 en n = 60, α = 0,05), dan is Wilks' Lambda significant, wat suggereert dat er significante verschillen zijn tussen de behandelingsgroepen op de combinatie van de afhankelijke variabelen.

Dit is een fictief voorbeeld, maar dit laat zien hoe Wilks' Lambda kan worden toegepast in de psychologie om de significante verschillen tussen groepen te beoordelen in multivariate gegevensanalyses. De specifieke waarden voor Wilks' Lambda en de kritieke F-waarden moeten worden berekend op basis van de werkelijke gegevens en de gekozen significantieniveaus in de analyses.

Praktijkvoorbeeld van het gebruik van de Lambdaverdeling van Wilks als schattingsparameter Wilks' Lambda wordt in natuur- en sociale wetenschappen zoals geneeskunde of onderwijskunde vaak gebruikt in multivariate onderzoeken waarin onderzoekers geïnteresseerd zijn in het evalueren van het effect van meerdere onafhankelijke variabelen op een set van afhankelijke variabelen. Hier is een vereenvoudigd voorbeeld:

Voorbeeld in de onderwijskunde
Stel je voor dat je als onderwijskundig onderzoeker geïnteresseerd is in het beoordelen van de impact van verschillende factoren (bijvoorbeeld schoolniveau, ouderbetrokkenheid, en docentenkwaliteit) op de prestaties van studenten op meerdere toetsen (bijvoorbeeld wiskunde, lezen en schrijven). Je wilt Wilks' Lambda gebruiken als een schattingsparameter in een MANOVA-model om de relatie tussen de onafhankelijke variabelen en de gecombineerde set van afhankelijke variabelen te evalueren. Je volgt deze stappen:

1) Gegevensverzameling: De onderzoeker verzamelt gegevens van verschillende scholen met informatie over schoolniveau, ouderbetrokkenheid en docentenkwaliteit, evenals scores van studenten op meerdere toetsen.
2) Multivariate model: De onderzoeker voert een multivariate variantieanalyse (MANOVA) uit, waarbij de gecombineerde set van toets scores (wiskunde, lezen en schrijven) fungeert als de afhankelijke variabelen, en schoolniveau, ouderbetrokkenheid en docentenkwaliteit fungeren als de onafhankelijke variabelen.
3) Wilks' Lambda als schattingsparameter: Wilks' Lambda wordt gebruikt in het MANOVA-model als een schattingsparameter om de bijdrage van elke onafhankelijke variabele aan de variabiliteit in de set van afhankelijke variabelen te schatten. Het model probeert de mate van associatie te schatten tussen de onafhankelijke en afhankelijke variabelen.
4) Interpretatie: De onderzoeker kan de resultaten van het MANOVA-model interpreteren, inclusief de waarden van Wilks' Lambda, om te bepalen welke onafhankelijke variabelen significant geassocieerd zijn met de prestaties van studenten op de toetsen. Een kleiner Wilks' Lambda suggereert doorgaans een sterkere associatie tussen de onafhankelijke variabelen en de afhankelijke variabelen.

Dit voorbeeld illustreert hoe Wilks' Lambda als een schattingsparameter wordt gebruikt in de onderwijskunde om de invloed van meerdere factoren op een multivariate uitkomst te modelleren en te schatten. Het helpt onderzoekers begrijpen welke variabelen significant zijn in het verklaren van variabiliteit in de prestaties van studenten op meerdere toetsen, wat van cruciaal belang kan zijn voor beleidsbeslissingen in het onderwijs.

Voorbeeld in de geneeskunde
Wilks' Lambda (Λ) kan in de geneeskunde worden gebruikt als schattingsparameter in situaties waarbij het nodig is om multivariate modellen te schatten zonder noodzakelijkerwijs een significatietoets uit te voeren. Hier is een vereenvoudigd voorbeeld van hoe Wilks' Lambda als een schattingsparameter kan worden gebruikt in de geneeskunde:

Stel je voor dat je als onderzoeker een studie uitvoeren om de impact van verschillende risicofactoren (bijvoorbeeld leeftijd, geslacht, en bloeddruk) op de gezondheidsresultaten van een groep patiënten te onderzoeken. Je wilt een multivariaat model ontwikkelen om de verwachte gezondheidsresultaten (bijv. bloedlipideniveau, bloeddruk, en gewicht) te schatten op basis van deze risicofactoren. Dat doe je, zonder noodzakelijkerwijs te bepalen of de risicofactoren statistisch significant zijn. De aanpak in stappen:

1) Gegevensverzameling: Je verzamelt gegevens van een steekproef van 200 patiënten. Je meet voor elke patiënt: leeftijd, geslacht, bloeddruk, en verschillende gezondheidsresultaten (bijv. bloedlipideniveau, bloeddruk en gewicht).
2) Multivariaat model: In plaats van alleen onafhankelijke t-toetsen of ANOVA te gebruiken om de effecten van afzonderlijke risicofactoren te beoordelen, wil je een multivariaat model creëren om de gezondheidsresultaten van patiënten te voorspellen op basis van alle risicofactoren.
3) Wilks' Lambda als schattingsparameter: Wilks' Lambda wordt gebruikt als een schattingsparameter in het multivariaat model. Hierbij worden de coëfficiënten voor leeftijd, geslacht en bloeddruk geschat met behulp van multivariate regressieanalyse. Daarbij geeft Wilks' Lambda de mate van aanpassing van het model aan de gegevens weer.
4) Resultaten: Het multivariaat model levert geschatte coëfficiënten op voor leeftijd, geslacht en bloeddruk. Wilks' Lambda geeft aan in hoeverre deze variabelen de gezondheidsresultaten verklaren.

In dit voorbeeld wordt Wilks' Lambda gebruikt om een model te ontwikkelen dat de gezondheidsresultaten van patiënten voorspelt op basis van risicofactoren, zonder de nadruk te leggen op de statistische significantie van de risicofactoren. Het is vooral nuttig wanneer het doel van het onderzoek is om voorspellingen te doen. Dat komt dan in de plaats van het doel, te testen of bepaalde factoren statistisch significant zijn. Deze benadering kan nuttig zijn in klinisch onderzoek en epidemiologie, waar het belangrijker kan zijn om nauwkeurige voorspellingen te doen dan om de exacte statistische significantie van elke variabele vast te stellen.

Hulp bij statistiek nodig? Schakel een professionele begeleider van Scriptium in

Heb je moeite met statistiek? Wens je hulp te krijgen bij SPSS, STATA of R? Scriptium heeft 7 dagen per week professionele statistiekbegeleiders beschikbaar. Of je nu hulp bij statistiek in je scriptie wilt hebben, of bijles statistiek nodig hebt, we staan direct voor je klaar. Neem vandaag nog contact met ons op, en we komen snel bij je terug.

Auteur: Ryu Jamanota

Motto: Beter weten door zuiver meten

De auteur gebruikt statistiek voor het analyseren van productie- en dienstverleningsprocessen. Aan de hand van statistische analyses onderzoekt hij of een bedrijfsproces langs de kortste weg levert wat er bedoeld is en of het proces ook beheersbaar en betrouwbaar verloopt.

Wat is Wilks’ Lambda of de Lambdaverdeling van Wilks?