Marleen Scriptium- Posted on
Wat is de kleinste kwadratenmethode?
De kleinste kwadratenmethode is ook bekend als de methode van de kleinste kwadraten (Engels: least squares method). Dit is een veelgebruikte statistische techniek.
Je kan met de kleinste kwadratenmethode de beste schattingen vinden van de parameters van een wiskundig model. Deze methode wordt voornamelijk gebruikt in regressieanalyse. In een regressieanalyse wordt de relatie onderzocht tussen een afhankelijke variabele (of responsvariabele) en één of meer onafhankelijke variabelen (of voorspellers). Dit is één van de toepassingen van de kleinste kwadratenmethode maar er zijn er nog meer.
Wat is het doel van de kleinste kwadratenmethode?
Het doel van de kleinste kwadratenmethode is om de parameters van het model zo te schatten dat de som van de kwadraten van de afwijkingen tussen de voorspelde waarden van het model en de werkelijke waarden (de residuen) minimaal is. Met andere woorden, de kleinstekwadratenmethode probeert een lijn (in het geval van lineaire regressie) of een andere vorm van wiskundig model te vinden die het beste past bij de gegevens. Je wilt dan dat de som van de gekwadrateerde residuen minimaal is.
De kleinstekwadratenmethode is zeer nuttig voor verschillende toepassingen, waaronder:
1. Lineaire regressie
Hierbij wordt gezocht naar de beste lineaire relatie tussen een afhankelijke variabele en één of meer onafhankelijke variabelen. Het wordt vaak gebruikt voor voorspellingsdoeleinden.
2. Niet-lineaire regressie
Wanneer het verband tussen variabelen niet lineair is, kan de methode van de kleinste kwadraten worden uitgebreid om niet-lineaire modellen te passen.
3. Tijdreeksanalyse
Het wordt gebruikt om trends, seizoen effecten en andere patronen in tijdreeksen te modelleren en te voorspellen.
4. Experimenteel ontwerp
Bij het ontwerpen van experimenten helpt de kleinstekwadratenmethode bij het schatten van de effecten van verschillende factoren op een responsvariabele.
5. Kalibratie
In wetenschappelijke en technische toepassingen wordt het vaak gebruikt om instrumenten en meetapparatuur te kalibreren.
Over het algemeen is de kleinstekwadratenmethode een krachtige en flexibele techniek om wiskundige modellen aan gegevens aan te passen, en het wordt veel gebruikt in statistiek en verschillende wetenschappelijke en technische disciplines.
Je leest hier enkele voorbeelden van het gebruik van de kleinstekwadratenmethode in zowel de psychologie als de kunstgeschiedenis. De voorbeelden gaan over zowel lineaire als niet-lineaire regressie en meervoudige lineaire regressie.
Psychologie (Lineaire Regressie)
Stel je voor dat je als onderzoeker geïnteresseerd bent in het onderzoeken van de relatie tussen de hoeveelheid slaap die studenten krijgen en hun academische prestaties. Je verzamelt gegevens van 50 studenten. Daarbij houd je de gemiddelde dagelijkse slaaptijd in uren en hun eindcijfers bij. Als onderzoeker wil jij bepalen of er een lineair verband is tussen slaapduur en cijfers.
Je past lineaire regressie toe door de kleinstekwadratenmethode te gebruiken om de best passende lijn te vinden die de relatie tussen slaapduur (onafhankelijke variabele) en cijfers (afhankelijke variabele) modelleert. Het model kan er als volgt uitzien:
Cijfers = α + β * Slaapduur + ε
Daarbij is:
• Cijfers = Het eindcijfer van de student.
• Slaapduur = Gemiddelde slaaptijd in uren.
• α = Intercept (constante term).
• β = Regressiecoëfficiënt die de verandering in cijfers weergeeft per extra uur slaap.
• ε = Residu (fout) term.
Je past de kleinstekwadratenmethode toe om α en β te schatten, en om te bepalen of het verband statistisch significant is.
Kunstgeschiedenis (Niet-lineaire Regressie)
Een kunsthistoricus bestudeert de verkoopprijzen van schilderijen van een bepaalde kunstenaar over een periode van 20 jaar. De prijzen van deze schilderijen stijgen exponentieel met de tijd De kunsthistoricus wil een niet-lineair model gebruiken om deze trend te modelleren. Praktisch wil de onderzoeker een model hebben van de statistisch te verwachten prijsontwikkeling. De kunsthistoricus past niet-lineaire regressie toe met behulp van de kleinstekwadratenmethode. Het model kan er als volgt uitzien:
Prijs = α * e^(β * Tijd) + ε
Daarbij is: • Prijs = Verkoopprijs van het schilderij.
• Tijd = Jaar waarin het schilderij werd verkocht.
• α = Schattingsparameter voor de beginwaarde van de prijs.
• β = Schattingsparameter voor de groeisnelheid van de prijs.
• ε = Residu (fout) term.
De kunsthistoricus past de kleinste kwadratenmethode toe om α en β te schatten en om de groeitrend in de verkoopprijzen van de schilderijen te analyseren.
Psychologie (Meervoudige Lineaire Regressie)
Een psycholoog wil de invloed van zowel de studie-uren als de slaapduur op academische prestaties begrijpen. De psycholoog verzamelt gegevens van 100 studenten. Daarbij worden naast studie-uren en slaapduur ook andere factoren zoals het aantal college-uren en leeftijd bijgehouden. De psycholoog past meervoudige lineaire regressie toe om het effect van meerdere onafhankelijke variabelen op academische prestaties te onderzoeken. Het model kan er als volgt uitzien:
Cijfers = α + β1 * Studie-uren + β2 * Slaapduur + β3 * College-uren + β4 * Leeftijd + ε
De psycholoog past de kleinstekwadratenmethode toe om α, β1, β2, β3, en β4 te schatten, en om de relatieve invloed van elk van deze factoren op academische prestaties te beoordelen.
Het gebruik van de kleinste kwadratenmethode in de context van lineaire regressie
Na deze algemene schets volgt onderstaand een meer gedetailleerd beeld. Stel je voor dat je als psycholoog geïnteresseerd bent in het onderzoeken van de relatie tussen:
Je hebt gegevens verzameld van 8 studenten en je wilt een lineaire regressieanalyse uitvoeren om het verband te begrijpen.
Hier zijn de gegevens:
Je wilt nu een lineaire regressie toepassen om de relatie te modelleren tussen
Studie-uren (X) en Behaald Cijfer (Y). Het lineaire regressiemodel heeft de vorm:
Daarbij is:
Je gebruikt de kleinstekwadratenmethode om α en β te schatten.
De formules voor α en β zijn als volgt:
Daarbij is:
Stappen in de berekening:
Stap 1: Bereken Xgem en Ygem
Stap 2: Bereken β
Stap 3: Bereken α
Het resulterende lineaire regressiemodel is:
Dit model kan nu worden gebruikt om voorspellingen te doen over het behaalde cijfer op basis van het aantal studie-uren.
Het gebruik van de kleinste kwadratenmethode in een tijdreeksanalyse.
Stel je bij wijze van voorbeeld voor dat je geïnteresseerd bent in het analyseren van de groeitrend van de verkoopprijzen van een bepaald product over een periode van 5 jaar. Hier zijn de gegevens:
Je wilt een trendlijn vinden om de groei van de verkoopprijzen in de tijd te begrijpen. Je gebruikt de kleinstekwadratenmethode om een lineaire trend te modelleren.
Het lineaire regressiemodel voor een tijdreeksanalyse heeft de vorm:
Waarbij:
Je gebruikt de kleinste kwadratenmethode om α en β te schatten. De formules voor α en β zijn dezelfde zoals eerder omschreven voor gebruik in het lineaire regressievoorbeeld.
De berekening in stappen:
Stap 1: Bereken Xgem en Ygem
Stap 2: Bereken β
Stap 3: Bereken α
Het resulterende lineaire regressiemodel voor deze tijdreeks is:
Dit model kan nu worden gebruikt om voorspellingen te doen over de verkoopprijzen in de toekomstige jaren op basis van de waargenomen trend. Het geeft aan dat de verkoopprijzen jaarlijks met ongeveer 20 eenheden stijgen.
Hulp bij statistiek nodig? Schakel een professionele begeleider van Scriptium in
Heb je moeite met statistiek? Wens je hulp te krijgen bij SPSS, STATA of R? Scriptium heeft 7 dagen per week professionele statistiekbegeleiders beschikbaar. Of je nu hulp bij statistiek in je scriptie wilt hebben, of bijles statistiek nodig hebt, we staan direct voor je klaar. Neem vandaag nog contact met ons op, en we komen snel bij je terug.
De auteur gebruikt statistiek voor het analyseren van productie- en dienstverleningsprocessen. Aan de hand van statistische analyses onderzoekt hij of een bedrijfsproces langs de kortste weg levert wat er bedoeld is en of het proces ook beheersbaar en betrouwbaar verloopt.
